Class 10 Maths Chapter 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) – Exercise 4.1
NCERT कक्षा 10 गणित के अध्याय 4 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) का अध्ययन किया जाता है। Exercise 4.1 इस अध्याय की पहली और आधारभूत प्रश्नावली है, जिसमें विद्यार्थियों को यह पहचानना होता है कि कोई दिया गया समीकरण द्विघात है या नहीं।
द्विघात समीकरण क्या होता है?
एक द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) वह समीकरण होता है जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 होता है। यहाँ ‘x’ एक चर (variable) है और इस समीकरण की घात (degree) 2 होती है।
Exercise 4.1 का उद्देश्य
इस प्रश्नावली में मुख्यतः दो प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं:
- दिए गए समीकरणों को द्विघात समीकरण के मानक रूप में लिखना।
- यह जाँचना कि दिया गया कथन या स्थिति द्विघात समीकरण को निरूपित करती है या नहीं।
Exercise 4.1 के प्रश्न एवं हल
प्रश्न 1: जाँच कीजिए कि निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं:
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
हल: बायाँ पक्ष = x² + 2x + 1
दायाँ पक्ष = 2x – 6
समीकरण: x² + 2x + 1 = 2x – 6
⟹ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⟹ x² + 7 = 0
यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है जहाँ a = 1, b = 0, c = 7 और a ≠ 0।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(ii) x² – 2x = (–2)(3 – x)
हल: बायाँ पक्ष = x² – 2x
दायाँ पक्ष = –6 + 2x
⟹ x² – 2x + 6 – 2x = 0
⟹ x² – 4x + 6 = 0
यहाँ a = 1 ≠ 0।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
हल: बायाँ पक्ष = x² – x – 2
दायाँ पक्ष = x² + 2x – 3
⟹ x² – x – 2 – x² – 2x + 3 = 0
⟹ –3x + 1 = 0
यह एक रैखिक (linear) समीकरण है, x² का पद नहीं है।
∴ यह द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
हल: बायाँ पक्ष = 2x² + x – 6x – 3 = 2x² – 5x – 3
दायाँ पक्ष = x² + 5x
⟹ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⟹ x² – 10x – 3 = 0
यहाँ a = 1 ≠ 0।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2: निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए:
(i) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।
हल: माना पहला पूर्णांक = x, तो दूसरा = x + 1
गुणनफल: x(x + 1) = 306
⟹ x² + x – 306 = 0
(ii) एक आयताकार खेत की लंबाई, चौड़ाई से 2 मीटर अधिक है और उसका क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है।
हल: माना चौड़ाई = x मीटर, तो लंबाई = x + 2 मीटर
क्षेत्रफल: x(x + 2) = 528
⟹ x² + 2x – 528 = 0
परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण टिप्स
- हमेशा समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लाएँ।
- यदि x² का गुणांक शून्य हो जाए तो वह द्विघात समीकरण नहीं होगा।
- शब्द समस्याओं में पहले चर (variable) मानें, फिर समीकरण बनाएँ।
- NCERT के सभी उदाहरण हल करें — बोर्ड परीक्षा में सीधे प्रश्न आते हैं।
Exercise 4.1 द्विघात समीकरण की नींव है। इसे अच्छी तरह समझने के बाद Exercise 4.2, 4.3 और 4.4 आसान लगेंगी। नियमित अभ्यास से आप बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय में पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।
